第73章 压轴题

请关闭浏览器的阅读/畅读/小说模式并且关闭广告屏蔽过滤功能，避免出现内容无法显示或者段落错乱。

各国领队和数学专家会提前数月准备备选题目，这些题目经过层层筛选，最终由选题委员会在赛前几天敲定。

今年的Imo考试首次采用了华国内地提供的题目，供题者是常庚哲教授和齐东旭教授。他们的题目获得了选题委员会的高度认可。

在考试开始前的几天，各代表队的领队们早已提前到场，齐聚一堂，共同参与试题的遴选工作。

他们从各国提交的备选题库中精心挑选出最终的六道考试题目。这一过程极为严格且保密，确保题目既能覆盖数学的多个领域，又能公平地考验参赛者的能力。

领队们在封闭的环境中讨论每一道题的难度、解法和评分标准，力求让试题既具有挑战性，又不失公平性。

汪守仁教授作为华国队的主领队，也全程参与了这一过程，他的严谨态度和对数学教育的深刻理解赢得了其他国家领队的尊重。

Imo的六道题目按照难度梯度设计，每天的前两道题相对较易，第三道题则显着提升难度。因此，第3题和第6题被公认为整套试卷中最难的两道题目。

不过，为了平衡整体难度，选题委员会通常会将第3题设计得比第6题更具挑战性，甚至被认为是每届Imo中最为恐怖的一道题。

这样的安排并非偶然，而是有意为之。

第1题通常是最简单的入门题，旨在让大部分参赛者都能有所得分，而第3题则成为区分顶尖选手的关键，往往涉及更复杂的数学思想和更具创新性的解题技巧。

包括裴瑜在内的许多参赛者事后回忆，第3题确实是他们耗费时间最长、绞尽脑汁的一道题，也是选题委员会心目中最难的一道压轴题。

考场上，第三题的题目是这样的：

【假设为一个五边形的每个顶点赋值，使得每个值都是整数，且它们的总和是正数。现在介绍以下操作：如果连续三个顶点的取值（记作x，y，z）中位于中间的顶点的值y<0，则将它们的值变成x+y，?y，y+z。证明或推翻：不断执行上述操作，一定会在有限步内终止。】

裴瑜看完题目之后，直觉是“证明”和“推翻”八二开。但在实际手算了一会儿之后，她觉得这个题目100%是“证明”而不是“推翻”了。问题只在于怎么证明。

她接下来想出了三种解法。

第一个做法是构造一个函数来衡量数组的“不均匀性”，并证明每次合法的翻转操作后该函数值必然减小，从而证明操作会在有限步内终止。

第二个做法是使用绝对值来衡量数组的“均匀”程度，通过计算翻转操作前后函数值的变化，证明操作会在有限步内终止。

第三个做法是通过观察翻转操作实际上是在交换序列中的元素，将问题转化为消除序列中的逆序对，从而证明操作会在有限步内终止。

裴瑜的做题经验告诉她，这个问题的本质应该与weyl群和dynkin图有关。